Son muchos los que conocen el cuadro Ejercicio complicado (año 1895), de Bogdánov-Belski, pero muy pocos se percatan del contenido del ejercicio complicado al contemplar dicho cuadro. Se trata de resolver rápida y mentalmente el siguiente ejercicio:
( 10² + 11² + 12² + 13² + 14² ) / 365
Este ejercicio a primera vista es difÃcil. En la figura del maestro el pintor reprodujo a S. Rachinski, profesor de ciencias naturales que abandonó la cátedra de la Universidad para convertirse en un sencillo maestro rural. El inteligente profesor cultivababa en su escuela el cálculo mental, basado en el hábil empleo de las propiedades de los números. Los números 10, 11, 12, 13 y 14 tienen una curiosa propiedad:
10² + 11² + 12² = 13² + 14²
100 + 121 + 144 = 169 + 196
365 = 365
Con esta observación la respuesta es inmediata. Es decir, una vez sabiendo la propiedad de estos números, el “ejercicio complicado” no lo es tanto, y el resultado es:
( 10² + 11² + 12² + 13² + 14² ) / 365
( 365 + 365 ) / 365
El resultado es 2
El álgebra permite ahora comprobar si existen otras series de números que tengan esta curiosa propiedad:
x² + (x + 1)² + (x + 2)² = (x + 3)² + (x+ 4)²
Para resolverlo, es más cómodo expresar con x, no el primer número de los buscados, sino el segundo. Entonces la ecuación tendrá un aspecto más sencillo:
(x – 1)² + x² + (x + 1)² = (x + 2)² + (x + 3)²
Al abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes, resultará:
x² - 10x - 11 = 0,
de donde
x = 5 ± √(25+11)
y
x 1 = 11 , x 2 = -1
Existen por consiguiente, dos series de números que tienen las propiedades exigidas: la serie de Rachinski
10, 11, 12, 13, 14
y la serie
-2, -1, 0, 1, 2.
Asà es, en efecto,
(-2)² + (-1)² + 0² = 1² + 2²
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