En el caso que hoy os planteo, el error es bastante evidente, pero hay que estar despierto para darse cuenta, y llevar la demostración en la cabeza para que no se te pase el detalle que hace errónea la demostración.

1=2

Sean dos números iguales, a y b ; escribimos: b = a.

Multiplicando los dos miembros de esta igualdad por el mismo número a , tenemos:

b x a = a ²restando a ambos miembros el mismo número b ² , resulta, b x a – b ² = a ² – b ²

que puede escribirse así: b x ( a – b ) = ( a + b ) x ( a – b )

Dividiendo los dos miembros por ( a – b ), tenemos, b = b + a que es lo mismo que b=b+b , o sea, b = 2 b, de donde, 1 = 2.
Este resultado paradojal se explica fácilmente. En efecto, pueden dividirse los dos miembros de una igualdad por un mismo número con la condición que ese divisor sea diferente de cero . Pero en el ejemplo tratado hemos dividido los dos miembros de una igualdad por ( a – b ) que, por hipótesis, es una cantidad nula, operación ilícita que nos condujo al resultado absurdo: 1 = 2.

( 10² + 11² + 12² + 13² + 14² ) / 365

Este ejercicio a primera vista es difícil. En la figura del maestro el pintor reprodujo a S. Rachinski, profesor de ciencias naturales que abandonó la cátedra de la Universidad para convertirse en un sencillo maestro rural. El inteligente profesor cultivababa en su escuela el cálculo mental, basado en el hábil empleo de las propiedades de los números. Los números 10, 11, 12, 13 y 14 tienen una curiosa propiedad:

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

100 + 121 + 144 = 169 + 196

365 = 365

Con esta observación la respuesta es inmediata. Es decir, una vez sabiendo la propiedad de estos números, el “ejercicio complicado” no lo es tanto, y el resultado es:

( 10² + 11² + 12² + 13² + 14² ) / 365

( 365 + 365 ) / 365

El resultado es 2

El álgebra permite ahora comprobar si existen otras series de números que tengan esta curiosa propiedad:

x² + (x + 1)² + (x + 2)² = (x + 3)² + (x+ 4)²

Para resolverlo, es más cómodo expresar con x, no el primer número de los buscados, sino el segundo. Entonces la ecuación tendrá un aspecto más sencillo:

(x – 1)² + x² + (x + 1)² = (x + 2)² + (x + 3)²

Al abrir los paréntesis y reducir los términos semejantes, resultará:

x² - 10x - 11 = 0,

de donde

x = 5 ± √(25+11)

y

x ₁ = 11 ,  x ₂ = -1

Existen por consiguiente, dos series de números que tienen las propiedades exigidas: la serie de Rachinski

10, 11, 12, 13, 14

y la serie

-2, -1, 0, 1, 2.

Así es, en efecto,

(-2)² + (-1)² + 0² = 1² + 2²

Ta(1)=2=1³+1³

Ta(2)=1729=1³ + 12³⁼9³ + 10³

El nombre de estos números proviene de la siguiente historia que tiene como protagonistas a G. H. Hardy y Ramanujan:

“Una vez, en un taxi de Londres, a Hardy le llamó la atención su número, 1729. Debió de estar pensando en ello porque entró en la habitación del hospital en donde estaba Ramanujan tumbado en la cama y, con un hola seco, expresó su desilusión acerca de este número. Era, según él, ‘un número aburrido’, agregando que esperaba que no fuese un mal presagio. ‘No, Hardy’, dijo Ramanujan, ‘es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos [positivos] de dos formas diferentes.’”

En la serie de animación Futurama, tenemos la aparición de algunos de estos números:

Bender es el hijo #1729 (ver episodio “2ACV04 - Cuento de Navidad”).
Además, la nave Nimbus (que aparece por primera vez en el episodio “1ACV04 - Obras de Amor Perdidas en el Espacio”) tiene también el 1729 grabado en su carrocería. Y también existe el “Universo 1729″, tal y como se nos muestra en el episodio “4ACV15 - La Paracaja de Farnsworth”.

El Ta(3) aparece precisamente en el taxi que coge Fry en “Bender’s Big Score”. ¡Un número taxicab en un taxicab!

Ta (3) = 87539319 = 167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³

¿Dónde aparecerá el Ta(4)? ¡Se admiten apuestas!

Más información en MathWorld.

¿Cual es el coseno de 180º?

Esa es la pregunta de una alumna de bachiller hizo a su compañera a la salida de un examen el otro día mientras esperaba en el metro. De ahí surgió la idea de empezar este blog. Un blog para, día a día, facilitar el estudio y la compresión de las matemáticas; una asignatura que se atraguanta a muchos estudiantes.

El otro día leí que un 70% de los alumnos madrileños de 3º de ESO catea matemáticas. Y supongo que en el resto de comunidades de España los porcentajes estarán en márgenes parecidos. Parece ser que las cuestiones que más cuesta resolver son los problemas (enunciados complicados, relacionados con la vida real, en los que tienen que aplicar distintos conceptos matemáticos para hallar la solución).

En un intento de ayudar a ese estudiante, que intenta aprender pero le cuesta, nos proponemos afrontar el blog con ganas y determinación. Y desde aquí nos ofrecemos para intentar solucionar vuestras dudas, matemáticas claro.:P

Bienvenidos a www.cosenode180.com

Via:  elpais.com